Función Raíz Cuadrada

01 · Concepto

¿Qué es la función raíz cuadrada?

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La función raíz cuadrada es una función irracional que expresa la operación inversa del cuadrado:

$$ f(x) = \sqrt{x} $$

Toma un valor $x \geq 0$ y devuelve el número positivo cuyo cuadrado es $x$.

Tabla de valores (fabricación)

$x$	$y = \sqrt{x}$	Punto
0	0	$(0, 0)$
1	1	$(1, 1)$
4	2	$(4, 2)$
9	3	$(9, 3)$

Gema

La raíz cuadrada siempre da un resultado positivo. $\sqrt{4} = 2$, no $-2$. Aunque $(-2)^2 = 4$, la función solo devuelve el valor positivo.

02 · Función base

Propiedades de $f(x) = \sqrt{x}$

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La expresión dentro de la raíz debe ser $\geq 0$:

$$ \text{Dom } f = \{x \in \mathbb{R} / x \geq 0\} = [0, +\infty) $$

Propiedades

Propiedad	Resultado	Interpretación
Dom $f$	$[0, +\infty)$	Existe desde $x = 0$.
Im $f$	$[0, +\infty)$	Valores de salida no negativos.
Crece	$[0, +\infty)$	Siempre crece, nunca decrece.
Concavidad	$\cap$	Cóncava hacia abajo (crece cada vez más lento).

$ f(x) = \sqrt{x} $

Dominio e Imagen:

$Dom(f)=[0,+\infty)$

$Im(f)=[0,+\infty)$

$ f(x) = -\sqrt{x} $

Dominio e Imagen:

$Dom(f)=[0,+\infty)$

$Im(f)=(-\infty,0]$

$ f(x) = \sqrt{-x} $

Dominio e Imagen:

$Dom(f)=(-\infty,0]$

$Im(f)=[0,+\infty)$

$f(x) = -\sqrt{-x}$

Dominio e Imagen:

$Dom(f)=(-\infty,0]$

$Im(f)=(-\infty,0]$

03 · Transformaciones

Forma general de la función raíz

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$$ f(x) = a \sqrt{x - h} + k $$

$a$ : Factor de escala. Si $a < 0$, la curva se voltea hacia abajo.
$h$ : Traslación horizontal.
$k$ : Traslación vertical.
$P_i = (h, k)$ : Punto inicial donde comienza la raíz.

Elvira

El punto inicial $(h, k)$ es el punto donde la raíz comienza a existir. Para encontrar el dominio, planteá $x - h \geq 0$ y despejás $x$.

Caso especial — radicando negativo: Si la función es $f(x) = \sqrt{-x}$, el dominio cambia porque necesitamos $-x \geq 0$, es decir $x \leq 0$. La curva se refleja hacia la izquierda.

Gema

La gráfica de una función raíz cuadrada puede quedar ubicada de tal manera que no toque alguno de los ejes… ¡o incluso ninguno!

04 · Análisis completo

Dos ejemplos resueltos paso a paso

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Ejemplo 1

$ f(x) = -2 \sqrt{x - 4} + 2 $

Identificar parámetros $$ a = -2 \quad h = 4 \quad k = 2 \quad P_i = (4,\, 2) $$

Dominio $$ x - 4 \geq 0 \implies x \geq 4 $$ $$ \text{Dom } f = [4,\, +\infty) $$

Imagen

Como $a = -2 < 0$, la raíz se refleja hacia abajo. El valor máximo es $f(4) = 2$ y desciende sin límite.

$$ \text{Im } f = (-\infty,\, 2] $$

Raíces: $f(x) = 0$ $$ 0 = -2\sqrt{x - 4} + 2 $$ $$ 2 = 2\sqrt{x - 4} $$ $$ 1 = \sqrt{x - 4} $$ $$ 1 = x - 4 $$ $$ x = 5 $$

Ordenada al origen: $f(0)$

$x = 0 \notin \text{Dom } f = [4, +\infty)$

$$ \therefore \text{ La función no presenta ordenada al origen} $$

Monotonía $$ \text{Crece: } \emptyset \qquad \text{Decrece: } [4,\, +\infty) $$

Concavidad $$ C^+ = [4,\, 5) \qquad C^- = (5,\, +\infty) $$

Gráfico

Ejemplo 2

$ f(x) = \tfrac{1}{2}\sqrt{x + 1} - \tfrac{3}{2} $

Gema y Elvira

Antes de calcular, identificá los parámetros. Fijate que $x + 1 = x - (-1)$, entonces $h = -1$. El dominio arranca desde ahí.

Identificar parámetros $$ a = \frac{1}{2} \quad h = -1 \quad k = -\frac{3}{2} \quad P_i = \left(-1,\, -\frac{3}{2}\right) $$

Dominio $$ x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1 $$ $$ \text{Dom } f = [-1,\, +\infty) $$

Imagen

Como $a = \tfrac{1}{2} > 0$, la función crece desde $f(-1) = -\tfrac{3}{2}$.

$$ \text{Im } f = \left[-\frac{3}{2},\, +\infty\right) $$

Raíces: $f(x) = 0$ $$ 0 = \frac{1}{2}\sqrt{x + 1} - \frac{3}{2} $$ $$ \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{x + 1} $$ $$ 3 = \sqrt{x + 1} $$ $$ 9 = x + 1 $$ $$ x = 8 $$

Ordenada al origen: $f(0)$ $$ f(0) = \frac{1}{2}\sqrt{0 + 1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1 $$

La función cruza el eje $y$ en $(0, -1)$.

Monotonía $$ \text{Crece: } [-1,\, +\infty) \qquad \text{Decrece: } \emptyset $$

Concavidad $$ C^- = [-1,\, 8) \qquad C^+ = (8,\, +\infty) $$

Gráfico

05 · Ejercitación

Prácticas para afianzar el aprendizaje

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Elvira

Para cada ejercicio: primero los parámetros, luego el dominio, la imagen, las raíces y por último el gráfico. Ese orden nunca falla.

1. Analizá completamente $f(x) = \sqrt{x + 1} - 3$ ▼

Parámetros: $a = 1$, $h = -1$, $k = -3$, $P_i = (-1, -3)$

Dominio: $x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$ → $[-1, +\infty)$

Imagen: $a > 0$, crece desde $f(-1) = -3$ → $[-3, +\infty)$

Raíz: $0 = \sqrt{x+1} - 3 \implies \sqrt{x+1} = 3 \implies x+1 = 9 \implies x = 8$

Ordenada al origen: $f(0) = \sqrt{1} - 3 = -2$ → punto $(0, -2)$

Monotonía: Crece en $[-1, +\infty)$. No decrece.

Concavidad: $C^- = [-1, 8)$, $C^+ = (8, +\infty)$

2. Analizá completamente $f(x) = -\sqrt{x - 1} + 2$ ▼

Parámetros: $a = -1$, $h = 1$, $k = 2$, $P_i = (1, 2)$

Dominio: $x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1$ → $[1, +\infty)$

Imagen: $a < 0$, decrece desde $f(1) = 2$ → $(-\infty, 2]$

Raíz: $0 = -\sqrt{x-1} + 2 \implies \sqrt{x-1} = 2 \implies x - 1 = 4 \implies x = 5$

Ordenada al origen: $x = 0 \notin [1, +\infty)$ → No existe

Monotonía: Decrece en $[1, +\infty)$. No crece.

Concavidad: $C^+ = [1, 5)$, $C^- = (5, +\infty)$

3. Analizá $f(x) = 3\sqrt{-x} + 1$ — ¿Por qué cambia el dominio? ▼

Radicando negativo: Necesitamos $-x \geq 0 \implies x \leq 0$

Dominio: $(-\infty, 0]$

Imagen: $a = 3 > 0$, crece desde $f(0) = 1$ → $[1, +\infty)$

Raíz: $0 = 3\sqrt{-x} + 1 \implies -1 = 3\sqrt{-x}$ → No existe (raíz no puede dar negativo)

Ordenada al origen: $f(0) = 3\sqrt{0} + 1 = 1$ → punto $(0, 1)$

Monotonía: Crece en $(-\infty, 0]$

4. Analizá $f(x) = \tfrac{1}{2}\sqrt{x - 2} - \tfrac{5}{2}$ ▼

Parámetros: $a = \tfrac{1}{2}$, $h = 2$, $k = -\tfrac{5}{2}$, $P_i = (2, -\tfrac{5}{2})$

Dominio: $x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$ → $[2, +\infty)$

Imagen: $a > 0$, crece desde $f(2) = -\tfrac{5}{2}$ → $[-\tfrac{5}{2}, +\infty)$

Raíz: $0 = \tfrac{1}{2}\sqrt{x-2} - \tfrac{5}{2} \implies 5 = \sqrt{x-2} \implies 25 = x-2 \implies x = 27$

Ordenada al origen: $x = 0 \notin [2, +\infty)$ → No existe

Monotonía: Crece en $[2, +\infty)$

Concavidad: $C^- = [2, 27)$, $C^+ = (27, +\infty)$

Gema

Para verificar la raíz, reemplazá el valor que encontraste en la función y fijate que dé cero. Es una forma rápida de chequear tu trabajo.

\(x\)	\(y = \sqrt{x}\)	Punto
0	0	\((0, 0)\)
1	1	\((1, 1)\)
4	2	\((4, 2)\)
9	3	\((9, 3)\)

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Propiedades

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